아무튼 지난 화에서 어떤 수 체계가 좋은 체계인가 에 대해서 알아봤으니, 오늘부터는 수체계를 간단한거부터 하나씩 늘려가봅시다.
첫타자는 역시 자연수!!
아마 약간의 예외를 제외하면 태어난 직후부터 4-5세에 전에 '하나' '둘' 세는걸 배웠을껍니다. 바로 이게 우리들에게 있어 수학과의 최초 조우인 것입니다!!!
... 아무튼, 태초에 하나가 있죠.
우리의 집합에는 {1} 요렇게 원소 하나가 들어가 있습니다.
이걸 적어도 더하기는 자유롭게 할 수 있도록 만들어 봅시다.
1이 원소이니
1+1 도 원소안에 있어야 합니다. .. 2도 들어가야겠네요.
1도 원소고 2도 원소니 .. 3도 들어가야 겠네요.
... 이런식으로 무한번 반복해서 우리의 집합은 {1,2,3,4,5,6... } 로 채워지게 되었고. 덧셈에 대해서 완벽하게 닫힌 이 집합을 우리는 자연수라 합니다.
몇가지 특성을 짚고 넘어가죠.
일단, 상한이 존재하지 않습니다
만약 상한 U라는게 존재한다면, U와 1이 모두 집합의 원소라 U+1 도 원소가 되어야 하는데, 그럼 이건 상한 U가 존재한다는 전제에 모순됩니다.
다만 하한은 존재합니다. 1~
덧셈과 곱셈에 대해서만 닫혀 있습니다
덧셈이야 generating 원리에 의해 자명한 편이고.. 자연수의 곱셈이라는건 m*n 은 m을 n번 더한다- 가 되니... 덧셈에 대해 닫혀 있는지라 곱셈에 대해서도 닫혀 있습니다. (갑자기 초등학교 1학년 산수시간이 된.. 기분?)
뺄셈은.. 2,3도 원소인데 2-3 은 집합에 없죠. 나눗셈 역시 2/3은 우리 집합에 없네요.
제가 잘못 알았네요. 포함될수도 아닐수도 있다고 합니다. 구분을 명확히 하려면 Positive Integer 랑 Negative Integer 를 쓰라고 하네요 (..)
자연수 집합 전체의 갯수는 매우 중요한 단위입니다
... 이 얘기는 지금은 그냥 제낄께요. 다른 수집합을 좀더 알아야 집합의 갯수끼리 비교할 껀덕지가 나오니. 아무튼 중요하다고만 알아두세요. 용어로는 알레프0 라고 합니다.
아, 마지막으로 셀수 있다, 혹은 Countable이라는 용어는 자연수와의 1:1 대응을 의미한다는 것을 짚어야 겠군요. 이얘기도 나중에 좀더 자세히 하겠지만..
우리가 보통 무한하다 라는 얘길 하잖아요?
이 무한하다가 근데 크게 보면 셀수 있게 무한한거랑 , 셀 수 없게 무한한거로 나뉘어집니다. 요 얘기는 다음시간이랑 다다음시간에 정수랑 유리수를 하면서 좀더 할 기회가 있을것 같네요. ㅎㅎ
아무튼 오늘은 여기까지~
태어나서 감각으로 익혔던 자연수를 요렇게 보니 신선하죠?
좀더 알고 싶으신 분들을 위해 위키 링크 걸어 놓습니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
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