수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 05

지난시간까지의 이야기가 궁금하다면 http://bp-math.blogspot.com/ 요쪽으로ㅋㅋ

자, 오늘은 드디어 지금까지보다는 훨씬 자유도가 있는 수집합을 만들어볼 차례입니다!
지난시간에 배운 정수는 자연수보다는 운신의 폭이 넓었지만, 그래도 여전히 곱셈쪽이 미묘했죠. 곱셈에 대한 역원을 제대로 포함하지 못했으니까요. (=나눗셈이 안된다.)

요걸 가능하게 해봅시다. 아, 0에 대한 곱셈의 역원은 일단 생각하지 맙시다(..)

정수는 ..-m, -(m-1), -(m-2), ... -2,-1,0,1,2, .. (m-1), m, m+1 .. 요렇게 나갔죠?
곱셈의 항등원을 1이라고 하면, k라는 정수에 대한 역원은 1/k 이 되겠죠.

그럼 우리의 새로운 집합은 k라는 정수들 뿐만 아니라 1/k 이라는 정수도 포함해야 합니다. 이걸로 끝일까요? 논~논~논~
1/k도 원소고, 1,2,3,4,5 등도 원소니
요것들의 곱도 커버해줄 수 있어야 합니다. 그러니 사실상 우리가 필요한 집합은 일반적으로

정수 p,q 에 대해, p/q 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 포함해야만 하는 겁니다.
근데 1/2 = 2/4 = 3/6 이런 식으로 겹치는 원소들이 있으니.. 사실상 서로 소인 정수 p와 q만 생각해주면 됩니다 요걸 Reduced form 이라고 하죠. (..한글용어로는 모르겠습ㅠ)

이 집합을 우리는 유리수 라고 합니다. 영어로는 Rational number라고 하죠. (영어쪽 용어가 훨씬 멋지지 않나요. 합리적인 수! .. 물론 유리수도 이성이 있는 수라는 의미니까 의미는 같긴 한데..) 집합기호로는 보통 Q를 많이 씁니다.

집합 Q의 특징이라면..

1, 필드 (..체 라는 우리말도 있긴 합니다) 입니다. 즉, 가감승제가 모두 자유롭고, 분배/교환/결합법칙을 덧셈과 곱셈 모두에 대해서 쓸 수 있습니다. 어지간한 연산이 다 된단 얘기. 첫시간에 어떠한 수집합이 괜찮은 수집합인가 인지에 대해서 다뤘죠? 우리는 드디어 필드가 요구되는 특성을 모두 만족하는 최초의 집합을 만들어낸 셈입니다!

2, 순서가 있는 필드 (Ordered field) 입니다. 어떠한 필드에 가 순서가 있다. 라고 하려면, 그 필드의 순서는 같은 방향으로의 어떠한 연산들을 가하더라도 일관성이 있어야 한다는 거죠.
a < b 라고 하면 .. 양쪽에 같은 수를 더하건(혹은 빼곤), 같은 수를 곱하건 (나누건) 부등호의 방향은 같아야만 한다는 얘기. 이때 양변에 같은 음수를 곱하면 부등호의 방향이 반대로 된다는 제보가 있었는데.. ㅇㅇ 맞는 얘기입니다. 근데 음수를 곱한단 얘기는 0을 기준으로 반대쪽에 대칭을 만든단 얘기죠. 수들간 순서가 있다면, 거울대칭은 이 순서를 뒤집어야 합니다. 그러니 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀌는건 결국 순서가 있는 집합이라면 당연하게 발생해야 하는 현상이죠.

3, 거리공간입니다. (저는 물론 영어쪽 용어인 Metric space 가 훨 뽀대난다 생각합니다 ㅡㅡ) 2번에서는 순서 에 대한 얘기를 했잖아요? 근데 사실은 순서라는건 실제로는 어디에 위치시키건 상관이 없죠 .. 예를 들면 흔히 여자친구 혹은 남자친구랑 내가 좋아, 쟤가 좋아? 라던가, 날 얼마나 좋아해? 라는 낮 간지러운 질문들 주고 받잖아요? (..) 전자가 바로 순서에 대한 거라면, 후자가 바로 거리에 대한 겁니다. 즉, 전자의 질문은, 실제로는 쟤보다 아주 미세한 만큼만 더 좋아해도 '니가 당연 더 좋지 ㅇㅇ' 라고 대답하는게 아무런 논리적 하자가 없다는 얘기.

3-1, 거리공간은 거리함수 d(x,y) 가 정의되어야만 합니다. .. 말이 어려워 보이는데... 임의의 두 원소가 있을때, 이 둘 사이가 실제로 얼마나 떨어져 있는지 숫자로 알려줄 수 있어야 한다는 얘기. 이 함수는 무슨 특징이 있어야 하냐 하면....

1) 어떠한 x,y에 대해서도 d(x,y) >= 0 즉, 0이상어야 합니다. 만약 d(x,y)=0 이라면 이건 x=y 인 상황을 의미해야만 합니다. (즉, x,y가 서로 다르다면 항상 0보다 커야만 합니다.)
2) d(x,y) = d(y,x) .. 비교대상들이 같다면 함수에 집어넣는 순서는 상관이 없어야 합니다.
3) x,y,z 에 대해 d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z) 가 성립합니다. Triangular inequality 라 하죠. 시작점, 도착점, 그리고 중간지점이 있다고 할 경우, 시작점에서 도착점으로 바로 가는게, 중간지점을 들리는 경우보다 거리가 짧다라고 생각하시면 이해가 쉽습니다. (중간지점이 시작과 도착까지의 직선상에 있다면... 등호가 성립하겠죠>)

3-2. 거리함수는 하나만 있는게 아니라 굉장히 다양하게 있을 수 있습니다. 극단적인 경우로 x,y가 서로 같으면 0, 다르면 1인 .. Binary function 도 거리함수가 될수 있습니다! (증명은 쉬우니 직접 해봅시다~ :)

3-3. 수많은 거리함수중, 가장 인기있는 건 역시.. 두 수의 차의 절대값이죠. d(x,y) = |x-y| .. 요러한 거리함수로 정의된 거리공간을 유클리드 거리공간 이라고 합니다. 수학과 관계된 일을 하지 않는다면 용어를 말하는것만으로도 당신의 간지가 열배 상승함을 보장할 수 있는 간지 용어죠. 사실 대부분의 경우 유클리드 거리공간이란건 우리가 아는 일반적인 체계이기 때문에 별 의미가 없다는 점에서 허세용어이기도 합니다 ㅋㅋ

4. 사실 이게 자연수/정수 와는 다른 유리수의 가장 중요하고도 이쁜 성질중 하나인데... Q는 조밀합니다. 이게 뭔말이냐 하면... 서로 다른 두 수 x, y 를 유리수 집합에서 뽑았어도, 그 사이에 다른 유리수 z가 존재합니다!
.. 요건 Q의 정의에 의해 자명한데... 위에서 정의한 거리함수에 의하면 (x+y)/2 는 항상 x랑 y 사이에 있잖아요? 근데 x,y 가 유리수라면, x+y 도 유리수여야 하고, 이걸 2로 나눈 값도 유리수여야 하죠.
조밀한 수는 조밀하지 못한 수보다 훨씬 유용합니다. 이를테면 우리가 봤던 영화에 점수를 준다고 할 때.. A라는 영화에 100점 을 줬고, 이걸 기준으로 다른 영화들에 점수를 준다고 합시다. .. 점수를 매기는 영화수가 많다보면 99점을 주는 영화 B가 있을 수 있습니다. .. 근데 요번에 새로본 영화 C는 99점주기엔 잘된것 같고, 100점 주기엔 A에 밀리는 거 같단 말이죠. .... 이럴때 자연수/정수 만을 이용해선 답이 안나옵니다. 그냥 99나 100점 주고 넘어가는 쪽으로 타협해야죠.
하지만 유리수를 쓰게 된다면, 99.5 정도 주고 넘어가면 그만입니다. 설령 그 다음에 보는 영화 D가 A랑 C 중간 정도에 있다고 해도.. 이번엔 99.25 같은 점수를 줄 수 있습니다

일단 오늘은 여기서 스탑. 유리수는 사실 중요한 체계이니까 담시간엔 한번 더 다루고 넘어갈께요. 특히 수학 배우면서 가장 재미있는 이야기 중 하나인 유리수 집합의 크기 에 대해서 알아볼껍니다.

아, 수학은 진짜 볼때마다 너무 아름다운 것 같아요 ㅠㅠ

피드백 / 질문 / 감상 등은 언제나 환영합니다~

수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 04

... 제 생애를 통틀어 연재를 3회 이상 진행했던 적이 없는 것 같은데 (......)
아무튼 오늘은 진짜 짧게 갑니다. 이것저것 밀려있는 상태라 ㅠㅠ

원래는 오늘쯤 드디어 가감승제가 모두 완벽해지는 집합인 유리수를 다뤄보려 했지만....... 그 전에 VS놀이를 좀 다뤄볼 필요가 있을 것 같아서~

.. 다들 흥미진진하죠? 누가누가 이기나!
아, 좀 재미있다라는 척이라도 해봐요. 표정 찡그리지 말고 ㅠㅠ

... 각설하고, 아래의 질문을 봅시다.
A = {1} 과 B = {-1,0,1} 이라는 집합 둘 중에서 원소가 더 많은건 어떤 집합일까요?

.. 아니, 돌좀 내려 놓으세요. 지능정박아 테스트 하는거 아녜요 ㅠㅠ
정도의 차이는 있지만 대부분 한글을 깨치기 전에 B가 더 갯수가 많다는걸 압니다(..)

A = {1,2} 랑 B= {-2,-1,0,1,2} 도 마찬가지고
A = { n | 0 < n < M, n.M은 자연수} 이랑 B = { j | -M < j < M, j와 M은 자연수} 의 경우도 마찬가지 논리가 성립합니다.

그렇다면.. 이 어낼로지로
정수집합은 자연수집합보다 많다고 할 수 있을까요? 라는게 오늘의 "진짜" 테마.
집에 있는 미취학 아동 혹은 초등학교 자녀분들이 좀 끼가 있다면 비슷한 질문을 받으셨을지도 모르겠습니다. 아니면 조만간 받을지..도 모릅니다 ㅎㅎ

여기서의 관건은.. 정수건 자연수건 둘다 무한집합이기 때문에 헷갈린다는 겁니다. 직감적으로 정수가 더 많아 보이긴 하는데, 앞의 예처럼 뚜렷하게 주장은 못하겠죠.

우리는 여기서 지금껏 생각해온 '비교'라는 개념을 좀 다르게 가져갈 필요가 있습니다. 수를 세어서 그 수를 비교한다... 라는건 거꾸로 말하면 몇 개 라고 고정되지 않는 무한은 그 방법이 통용되지 않는다. 라는 것.

.. 우리 조~금 더 원시적인 방법을 써보죠.
그런... 바로...
다이다이.
(...)

아니 진짜 다이다이에요(..)

1. A = {1,2} 랑 B= {-2,-1,0,1,2} → 요 예제로 테스트를 함 해보죠.
2. A의 첫번째 원소인 1이랑 첫 B의 첫번째 -2 를 짝짓습니다. 다음!
3. 남아있는 A의 원소인 B의 원소랑 B의 -1을 짝짓습니다. 다음!
4. ... 어라, A는 더이상 짝지을 원소가 없네요!
5. 고로 B 윈!!

.... 근데, 아까 방법보다 49배는 덜 세련된 이 방법이 .. 무한집합끼리 찰지게 비교해 줄 열쇠가 됩니다!

위의 다이다이(..)를 조금 더 유식한 용어로 표현해보죠.

1. A의 집합의 각원소에 B 집합의 각원소를 1:1로 대응시킬 수 있다면 .. A와 B는 같은 크기의 집합 입니다.
2. B 집합의 각원소를 A에 각각 대응시키고도, A에 남는게 있다면 A가 더 큰 집합입니다.
3. 2번의 역의 상황이 발생한다면.. B가 더 큰 집합입니다!

자, 우리는 이제 본격적으로 정수와 자연수를 비교해볼 준비가 되었군요.

모든 자연수를 모든 정수에 빠짐없이 대응시킬 수 있을까요?
... 를 증명하는 방법은 몇가지 있겠지만.. 역시 단도직입적이고 제일 스트레이트한 방법은 직접 그 대응 규칙을 보여주는 것이겠죠.

요런 대응 규칙은 어떨까요?
자연수를 넣으면 정수가 튀어나오는 규칙으로..

• 1) n이 짝수이면.. 2로 나누어서 그 몫.
• 2) n이 1이 아닌 홀수이면 .. 2로 나눈 몫의 덧셈에 대한 역원. (..0 - 몫 이라고 이해하시면 됩니다)
• 3) n이 1이면... 0

... 어라? n이 어떤 자연수가 오더라도 서로 다른 정수 에 대응됩니다???
이 함수를 F[n] 이라고 해보면..
F[1] = 0
F[2] = 2%2 = 1
F[3] = (-) 3%2 = -1
F[4] = 4%2 = 2
... 등등등... 약간의 상상을 해보시면 모든 자연수가 대응된다는걸 확인할 수 있습니다.

한번 거꾸로 돌려볼까요. 같은 규칙을 뒤집어보면.. 입력하는 정수를 j라 할 때..

• 1) j가 0이면 1
• 2) j가 양의 정수이면 2*j
• 3) j가 음의 정수이면 2*(-j)+1

요걸 T라고 하면.. (정수는 하한이 없으므로 0부터 시작해서 우좌로 하나씩 넣어봅시다)
T[0] = 1
T[1] = 2*1 = 2
T[-1] = 2*1+1 = 3
T[2] = 2*2 = 4
.. 오오, 이번에도 모든 정수가 빠짐없이 서로 다른 자연수에 대응한다는걸 확인했습니다.

그러니 아까의 다이다이 rule 에 입각해서..

정수 전체의 집합과 자연수 전체의 집합은 크기가 같다!

라는 결론을 도출 할 수 있습니다~ 쉽죠? 멋지죠? 아름답죠??

저는 기초수학을 배우면서 요 언저리가 제일 짜릿하더라구요. >_<
여러분에게도 제가 느낀 감동을 조금이나며 Share되었길 바라며 요번 세션은 여기서 종료~~


PS. 아, 맞당. 중요한거 얘기 안했네요잉. 이전 자연수 할때.. 셀수 있다.. 혹은 Countable 이라는 단어는 자연수와 크기가 같은 집합에 대해서 한다는 말 기억나시나요~?
... 드디어 그걸 써먹을 최초의 사례입니다.
정수는 셀 수 있습니다!!!

수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 03

네, 먹는거 맞습니다. 먹을 수 있도록 모두 힘내자구요 (...)

지난시간엔 자연수를 알아봤으니, 이제 이걸 좀 우리 구미에 맞게 확장해 봅시다!
... 라고 해도 제가 당장 시험이 닥쳐서 오늘은 쪼금만~ ^^

일단 자연수에 0이 포함되는지 안되는지는 논란의 여지가 있다고 했고, 위대한 Peano옹 께서는 0을 넣어버려서 제 마음이 매우 아프긴 하지..만, 일단 저는 안넣고 가겠습니다. 그래야 오늘 배우는 체계가 좀더 가치있거든요! ㅋ

자연수의 가장 큰 문제점은..

1. 덧셈/곱셈 에 대해서만 닫혀있다.
2. 역원/항등원이 존재하지 않는다. (곱셈에 대한 항등원은 존재합니다~)

.. 몇가지 문제점들이 더 있지만, 일단 써먹기에 안좋은 점들은 위의 두가지가 가장 큽니다.

거든요. 오늘은 이 제약을 쪼금만 완화시켜보죠!

일단 덧셈에 대한 항등원(Identity)을 추가시켜 봅시다.

임의의 자연수를 n이라 하고, 항등원 x가 존재한다고 합시다.
그러면 n+x=n 이 되겠죠?
이 x를 우리는 0이라고 그리기(쓰기)로 약속하고 넘어갑시다. (약속이 포인트임요.)

그럼 이제 역원을 정의해볼 차례인데.. 역시 임의의 자연수 n에 대한 역원을 함수 I(n)가 담당한다고 합시다. 그럼 n + I(n) = 0 이죠. 이러한 I(n)을 우리는 앞으로 편의상 -n이라고 쓰기로 약속합니다

지금까지의 모든 원소는 새로운 수 집합에 몽땅 포함되어야 하겠네요?

• 자연수가 {1,2,3,4 ... } 였고,
• 항등원이 0로 {0}고 (단일 원소를 가지고 있는 집합~)
• 역원들이 {-1, -2, -3, -4....} 죠.

이 모든걸 한꺼번에 묶어서 3만 9천 9백원!!... 이 아니라 정수 (Integer) 라고 부른답니다. 집합표시로는 보통 Z를 많이 씁니다. (자연수는 N)

이제 새로운 체계 안에서 우리는 덧셈을 진짜 맘대로 할 수 있고, 덤으로 역원으로부터 정의되는 뺄셈도 맘대로 할 수 있습니다. 오, 이런 행복할데가!!

다만, 새로운 집합에서도 곱셈은 여전히 조금 제한적입니다. 무엇인고 하니... 곱하는건 마음대로였겠지만 되돌리는건 마음대로가 아니란다 라는 거지요 (..)
.. 요게 가능한 집합은 다음시간에 만들어 갈껍니다.

자연수에서는 상한이 존재하지 않았던 것처럼, 정수에는 상하한이 모두 존재하지 않습니다.

... 여기서 수학보다 컴을 먼저 배운 사람들이라면 가~~끔 가지는 오해가...
"어? 정수가 상하한이 없다구요? 에이, 이사람이 어디서 약을 파나요!! 부호가 있는 정수는 -2,147,483,648 ~ 2,147,483,647 고, 부호가 없는 정수는 0 ~ 4,294,967,295 범위를 가진다는건 전국 100만의 공돌/공순이가 압니다!"
.. 인데... 사실 제가 수학에 관심 갖기 전에 그랬습.

컴퓨터 언어들에서의 자료형으로서의 Integer는 위의 정수를 기본으로 삼았지만, 여러가지 어른의 사정 (왜 무한튜링머신이 구현되지 못하는거랑 비슷한 현시창 논리ㅋㅋ) 때문에 좀 제한시켜서 구현해 놓은 것이기 때문입니다. 일부 성능 걱정 안해도 별 상관없는 함수형 언어들에서는 Integer는 진짜로 무한 하한, 무한 상한이 구현되기도 합니다. 랄까, 약간 플밍 실력만 있다면 클래스 작성 예제로 다들 짜보죠? 무한 길이 스트링, 무한길이 정수 등등 ^^

아무튼 오늘은 여기까지. 피드백은 언제나 환영합니다!

수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 02

... 사실 지난 첫화가 살짝 어려운 내용이라고 생각합니다. 그래도 거기서 힘든 스텝을 끝내놨으니 이번화부터는 쉬울꺼에요~ .... 라고 희망적으로 생각합시다. 혹시 아나요 플라시보 효과라도 따라줄지!

아무튼 지난 화에서 어떤 수 체계가 좋은 체계인가 에 대해서 알아봤으니, 오늘부터는 수체계를 간단한거부터 하나씩 늘려가봅시다.

첫타자는 역시 자연수!!
아마 약간의 예외를 제외하면 태어난 직후부터 4-5세에 전에 '하나' '둘' 세는걸 배웠을껍니다. 바로 이게 우리들에게 있어 수학과의 최초 조우인 것입니다!!!

... 아무튼, 태초에 하나가 있죠.
우리의 집합에는 {1} 요렇게 원소 하나가 들어가 있습니다.

이걸 적어도 더하기는 자유롭게 할 수 있도록 만들어 봅시다.

1이 원소이니
1+1 도 원소안에 있어야 합니다. .. 2도 들어가야겠네요.
1도 원소고 2도 원소니 .. 3도 들어가야 겠네요.
... 이런식으로 무한번 반복해서 우리의 집합은 {1,2,3,4,5,6... } 로 채워지게 되었고. 덧셈에 대해서 완벽하게 닫힌 이 집합을 우리는 자연수라 합니다.

몇가지 특성을 짚고 넘어가죠.

일단, 상한이 존재하지 않습니다
만약 상한 U라는게 존재한다면, U와 1이 모두 집합의 원소라 U+1 도 원소가 되어야 하는데, 그럼 이건 상한 U가 존재한다는 전제에 모순됩니다.
다만 하한은 존재합니다. 1~

덧셈과 곱셈에 대해서만 닫혀 있습니다
덧셈이야 generating 원리에 의해 자명한 편이고.. 자연수의 곱셈이라는건 m*n 은 m을 n번 더한다- 가 되니... 덧셈에 대해 닫혀 있는지라 곱셈에 대해서도 닫혀 있습니다. (갑자기 초등학교 1학년 산수시간이 된.. 기분?)
뺄셈은.. 2,3도 원소인데 2-3 은 집합에 없죠. 나눗셈 역시 2/3은 우리 집합에 없네요.

0이 포함되지 않습니다.
제가 잘못 알았네요. 포함될수도 아닐수도 있다고 합니다. 구분을 명확히 하려면 Positive Integer 랑 Negative Integer 를 쓰라고 하네요 (..)

자연수 집합 전체의 갯수는 매우 중요한 단위입니다
... 이 얘기는 지금은 그냥 제낄께요. 다른 수집합을 좀더 알아야 집합의 갯수끼리 비교할 껀덕지가 나오니. 아무튼 중요하다고만 알아두세요. 용어로는 알레프0 라고 합니다.

아, 마지막으로 셀수 있다, 혹은 Countable이라는 용어는 자연수와의 1:1 대응을 의미한다는 것을 짚어야 겠군요. 이얘기도 나중에 좀더 자세히 하겠지만..
우리가 보통 무한하다 라는 얘길 하잖아요?
이 무한하다가 근데 크게 보면 셀수 있게 무한한거랑 , 셀 수 없게 무한한거로 나뉘어집니다. 요 얘기는 다음시간이랑 다다음시간에 정수랑 유리수를 하면서 좀더 할 기회가 있을것 같네요. ㅎㅎ

아무튼 오늘은 여기까지~
태어나서 감각으로 익혔던 자연수를 요렇게 보니 신선하죠?

좀더 알고 싶으신 분들을 위해 위키 링크 걸어 놓습니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 01

전에 실수와 복소수는 참으로 기특한 특징 = "완벽하다" 라는 얘기를 했었는데, 요 얘기를 좀 자세히 해볼까 합니다.

우리가 숫자를 쓰는 이유는 결국, 써먹기 위해서인데 (대부분에게 말이죠 :) 그럴려면 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 이 요구됩니다... 만, 조~~금만 눈썰미 있게 보시면 사실 덧셈과 곱셈만 완벽하게 지원된다면 나머지는 자동으로 따라온다는걸 알 수 있습니다.

이를 위해서 역원과 항등원 (각각 영어로 inverse, identity 라 합니다.) 을 소개해보면..

항등원은 집합의 모든 원소 a에 대해서 a {연산} e = a 가 만족되는 e를 지칭합니다. '더하기' 기준으로 보면.. x + 0 = x 니까 항등원은 0가 되죠. 같은 논리로 곱셈의 항등원은 1이 됩니다.

역원은 집합내의 모든 원소 x에 대해 각 x에 대응하는 y[x] 가 다음의 특징을 만족하면 됩니다.
x {연산} y[x] = e (항등원)
... 즉, 덧셈의 경우.. x + (-x) = 0 , 이니 -를 붙이면 역원이 되는거고. 곱셈의 경우 x * (1/x) = 1 이니, 역수를 취하면 역원이 되는 겁니다.

.. 이미 설명중에도 나왔지만 역원이라는 개념이 필연적으로 뺄셈 나눗셈이 요구되는지라 사실은 그게 그얘기였네요. 하지만 덧셈/곱셈/역원/항등원 으로 기억해두는게 좀 더 추상적인 세계를 다룰때는 좋습니다. 왜냐하면 덧셈과 곱셈은 우리가 아는 것과는 전혀 다른 형태로 정의될 수도 있기 때문이거든요.

아무튼.. 이상의 결과를 바탕으로 우리는 일단 '좋은' 수 체계라면 아래의 조건을 만족시켜야 한다는 것을 알 수 있습니다.

1. 집합내의 두 원소를 뽑아 덧셈을 해도 그 결과는 집합에 포함되어야 한다.
2. 집합내의 두 원소를 뽑아 곱셈을 해도 그 결과는 집합에 포함되어야 한다.
3. 항등원도 집합에 포함되어야 한다.
4. 모든 원소에 대한 역원도 집합에 포함되어야 한다.

1-4 를 '닫혀있다' 라고 합니다. 영어로는 closed 혹은 closure.

일단 위의 조건이 만족된다면 우리는 두 원소에 대한 연산 의 경우는 문제없이 처리할 수 있습니다. 추가적으로 우리는 아래의 이쁜 특성 들을 요구하는데요..

5. a+b = b+a : 배치의 순서 바꿔도 상관 없으면 좋겠고.. (communitive)
6. a + (b + c) = (a+b) + c : 같은 연산들끼리면 뭘 먼저 계산하건 같은 결과가 나왔으면 좋겠습니다. (associative)
7-8 은 5-6의 곱셈버젼~

그리고 마지막으로는 더하기랑 곱셈이 섞인 경우.. 기본적으로는 곱셈 연산 우선을 취하되... a * ( b + c) = a * b + a * c 가 되었으면 좋겠네요. 이를 distributive 혹은 분배 법칙이라고 부르죠.

.. 요런 얘기 다들 중고딩때 한번쯤 들었죠? 그때는 한귀로 듣고 한귀로 흘렸지만 ㅋㅋ 사실은 제가 그랬어요ㅠ

위와 같은 이쁘고 좋고 착한 특성 을 지닌 원소의 집합을 수학에서는 Field 혹은 체 라고 부릅니다. (여기서부터는 한글 용어가 영 껄끄럽습 --)
그리고, 그러한 체 위에서 정의되는 덧셈과 곱셈의 연산체계를 Algebra/대수 혹은 Algebra over field 라고 부릅니다.

이제 우리는 수의 체계를 만들어나갈 준비가 된 상태인데요. 다음번 연재(?) 에서는 태어나서 가장 먼저 배우게 되는 기초중의 기초인 자연수부터 시작해보죠 :)

시작합니다!

주된 목적은 구글 플러스의 글들 보관용이 될 것 같네요.

Link: http://gplus.to/BPP