수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 04

... 제 생애를 통틀어 연재를 3회 이상 진행했던 적이 없는 것 같은데 (......)
아무튼 오늘은 진짜 짧게 갑니다. 이것저것 밀려있는 상태라 ㅠㅠ

원래는 오늘쯤 드디어 가감승제가 모두 완벽해지는 집합인 유리수를 다뤄보려 했지만....... 그 전에 VS놀이를 좀 다뤄볼 필요가 있을 것 같아서~

.. 다들 흥미진진하죠? 누가누가 이기나!
아, 좀 재미있다라는 척이라도 해봐요. 표정 찡그리지 말고 ㅠㅠ

... 각설하고, 아래의 질문을 봅시다.
A = {1} 과 B = {-1,0,1} 이라는 집합 둘 중에서 원소가 더 많은건 어떤 집합일까요?

.. 아니, 돌좀 내려 놓으세요. 지능정박아 테스트 하는거 아녜요 ㅠㅠ
정도의 차이는 있지만 대부분 한글을 깨치기 전에 B가 더 갯수가 많다는걸 압니다(..)

A = {1,2} 랑 B= {-2,-1,0,1,2} 도 마찬가지고
A = { n | 0 < n < M, n.M은 자연수} 이랑 B = { j | -M < j < M, j와 M은 자연수} 의 경우도 마찬가지 논리가 성립합니다.

그렇다면.. 이 어낼로지로
정수집합은 자연수집합보다 많다고 할 수 있을까요? 라는게 오늘의 "진짜" 테마.
집에 있는 미취학 아동 혹은 초등학교 자녀분들이 좀 끼가 있다면 비슷한 질문을 받으셨을지도 모르겠습니다. 아니면 조만간 받을지..도 모릅니다 ㅎㅎ

여기서의 관건은.. 정수건 자연수건 둘다 무한집합이기 때문에 헷갈린다는 겁니다. 직감적으로 정수가 더 많아 보이긴 하는데, 앞의 예처럼 뚜렷하게 주장은 못하겠죠.

우리는 여기서 지금껏 생각해온 '비교'라는 개념을 좀 다르게 가져갈 필요가 있습니다. 수를 세어서 그 수를 비교한다... 라는건 거꾸로 말하면 몇 개 라고 고정되지 않는 무한은 그 방법이 통용되지 않는다. 라는 것.

.. 우리 조~금 더 원시적인 방법을 써보죠.
그런... 바로...
다이다이.
(...)

아니 진짜 다이다이에요(..)

1. A = {1,2} 랑 B= {-2,-1,0,1,2} → 요 예제로 테스트를 함 해보죠.
2. A의 첫번째 원소인 1이랑 첫 B의 첫번째 -2 를 짝짓습니다. 다음!
3. 남아있는 A의 원소인 B의 원소랑 B의 -1을 짝짓습니다. 다음!
4. ... 어라, A는 더이상 짝지을 원소가 없네요!
5. 고로 B 윈!!

.... 근데, 아까 방법보다 49배는 덜 세련된 이 방법이 .. 무한집합끼리 찰지게 비교해 줄 열쇠가 됩니다!

위의 다이다이(..)를 조금 더 유식한 용어로 표현해보죠.

1. A의 집합의 각원소에 B 집합의 각원소를 1:1로 대응시킬 수 있다면 .. A와 B는 같은 크기의 집합 입니다.
2. B 집합의 각원소를 A에 각각 대응시키고도, A에 남는게 있다면 A가 더 큰 집합입니다.
3. 2번의 역의 상황이 발생한다면.. B가 더 큰 집합입니다!

자, 우리는 이제 본격적으로 정수와 자연수를 비교해볼 준비가 되었군요.

모든 자연수를 모든 정수에 빠짐없이 대응시킬 수 있을까요?
... 를 증명하는 방법은 몇가지 있겠지만.. 역시 단도직입적이고 제일 스트레이트한 방법은 직접 그 대응 규칙을 보여주는 것이겠죠.

요런 대응 규칙은 어떨까요?
자연수를 넣으면 정수가 튀어나오는 규칙으로..

• 1) n이 짝수이면.. 2로 나누어서 그 몫.
• 2) n이 1이 아닌 홀수이면 .. 2로 나눈 몫의 덧셈에 대한 역원. (..0 - 몫 이라고 이해하시면 됩니다)
• 3) n이 1이면... 0

... 어라? n이 어떤 자연수가 오더라도 서로 다른 정수 에 대응됩니다???
이 함수를 F[n] 이라고 해보면..
F[1] = 0
F[2] = 2%2 = 1
F[3] = (-) 3%2 = -1
F[4] = 4%2 = 2
... 등등등... 약간의 상상을 해보시면 모든 자연수가 대응된다는걸 확인할 수 있습니다.

한번 거꾸로 돌려볼까요. 같은 규칙을 뒤집어보면.. 입력하는 정수를 j라 할 때..

• 1) j가 0이면 1
• 2) j가 양의 정수이면 2*j
• 3) j가 음의 정수이면 2*(-j)+1

요걸 T라고 하면.. (정수는 하한이 없으므로 0부터 시작해서 우좌로 하나씩 넣어봅시다)
T[0] = 1
T[1] = 2*1 = 2
T[-1] = 2*1+1 = 3
T[2] = 2*2 = 4
.. 오오, 이번에도 모든 정수가 빠짐없이 서로 다른 자연수에 대응한다는걸 확인했습니다.

그러니 아까의 다이다이 rule 에 입각해서..

정수 전체의 집합과 자연수 전체의 집합은 크기가 같다!

라는 결론을 도출 할 수 있습니다~ 쉽죠? 멋지죠? 아름답죠??

저는 기초수학을 배우면서 요 언저리가 제일 짜릿하더라구요. >_<
여러분에게도 제가 느낀 감동을 조금이나며 Share되었길 바라며 요번 세션은 여기서 종료~~


PS. 아, 맞당. 중요한거 얘기 안했네요잉. 이전 자연수 할때.. 셀수 있다.. 혹은 Countable 이라는 단어는 자연수와 크기가 같은 집합에 대해서 한다는 말 기억나시나요~?
... 드디어 그걸 써먹을 최초의 사례입니다.
정수는 셀 수 있습니다!!!