수포자를 위한 교양 수학 따라잡기 01

전에 실수와 복소수는 참으로 기특한 특징 = "완벽하다" 라는 얘기를 했었는데, 요 얘기를 좀 자세히 해볼까 합니다.

우리가 숫자를 쓰는 이유는 결국, 써먹기 위해서인데 (대부분에게 말이죠 :) 그럴려면 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 이 요구됩니다... 만, 조~~금만 눈썰미 있게 보시면 사실 덧셈과 곱셈만 완벽하게 지원된다면 나머지는 자동으로 따라온다는걸 알 수 있습니다.

이를 위해서 역원과 항등원 (각각 영어로 inverse, identity 라 합니다.) 을 소개해보면..

항등원은 집합의 모든 원소 a에 대해서 a {연산} e = a 가 만족되는 e를 지칭합니다. '더하기' 기준으로 보면.. x + 0 = x 니까 항등원은 0가 되죠. 같은 논리로 곱셈의 항등원은 1이 됩니다.

역원은 집합내의 모든 원소 x에 대해 각 x에 대응하는 y[x] 가 다음의 특징을 만족하면 됩니다.
x {연산} y[x] = e (항등원)
... 즉, 덧셈의 경우.. x + (-x) = 0 , 이니 -를 붙이면 역원이 되는거고. 곱셈의 경우 x * (1/x) = 1 이니, 역수를 취하면 역원이 되는 겁니다.

.. 이미 설명중에도 나왔지만 역원이라는 개념이 필연적으로 뺄셈 나눗셈이 요구되는지라 사실은 그게 그얘기였네요. 하지만 덧셈/곱셈/역원/항등원 으로 기억해두는게 좀 더 추상적인 세계를 다룰때는 좋습니다. 왜냐하면 덧셈과 곱셈은 우리가 아는 것과는 전혀 다른 형태로 정의될 수도 있기 때문이거든요.

아무튼.. 이상의 결과를 바탕으로 우리는 일단 '좋은' 수 체계라면 아래의 조건을 만족시켜야 한다는 것을 알 수 있습니다.

1. 집합내의 두 원소를 뽑아 덧셈을 해도 그 결과는 집합에 포함되어야 한다.
2. 집합내의 두 원소를 뽑아 곱셈을 해도 그 결과는 집합에 포함되어야 한다.
3. 항등원도 집합에 포함되어야 한다.
4. 모든 원소에 대한 역원도 집합에 포함되어야 한다.

1-4 를 '닫혀있다' 라고 합니다. 영어로는 closed 혹은 closure.

일단 위의 조건이 만족된다면 우리는 두 원소에 대한 연산 의 경우는 문제없이 처리할 수 있습니다. 추가적으로 우리는 아래의 이쁜 특성 들을 요구하는데요..

5. a+b = b+a : 배치의 순서 바꿔도 상관 없으면 좋겠고.. (communitive)
6. a + (b + c) = (a+b) + c : 같은 연산들끼리면 뭘 먼저 계산하건 같은 결과가 나왔으면 좋겠습니다. (associative)
7-8 은 5-6의 곱셈버젼~

그리고 마지막으로는 더하기랑 곱셈이 섞인 경우.. 기본적으로는 곱셈 연산 우선을 취하되... a * ( b + c) = a * b + a * c 가 되었으면 좋겠네요. 이를 distributive 혹은 분배 법칙이라고 부르죠.

.. 요런 얘기 다들 중고딩때 한번쯤 들었죠? 그때는 한귀로 듣고 한귀로 흘렸지만 ㅋㅋ 사실은 제가 그랬어요ㅠ

위와 같은 이쁘고 좋고 착한 특성 을 지닌 원소의 집합을 수학에서는 Field 혹은 체 라고 부릅니다. (여기서부터는 한글 용어가 영 껄끄럽습 --)
그리고, 그러한 체 위에서 정의되는 덧셈과 곱셈의 연산체계를 Algebra/대수 혹은 Algebra over field 라고 부릅니다.

이제 우리는 수의 체계를 만들어나갈 준비가 된 상태인데요. 다음번 연재(?) 에서는 태어나서 가장 먼저 배우게 되는 기초중의 기초인 자연수부터 시작해보죠 :)